return n * factorial(n-1)

在这个例子中，函数 factorial 通过不断调用自身来计算阶乘，每次递归调用都将问题规模减小，直到达到基本情况（n == 0），此时递归停止并开始回溯，逐步计算出最终的结果。

递归在处理树形结构、图遍历、分支算法等问题时非常有效。然而，递归也有其缺点，如可能导致栈溢出（因为每次递归调用都会在内存中创建一个新的函数调用栈帧），以及效率问题（因为递归通常涉及到多次函数调用和参数传递）。因此，在使用递归时需要谨慎，确保有适当的基本情况和有效的递归策略。

问题二：佩尔德曼对庞加莱猜想证明

佩雷尔曼（Grigori Perelman）是一位俄罗斯数学家，他在2002年和2003年发表了一系列论文，解决了庞加莱猜想这一长期悬而未决的数学难题。庞加莱猜想是拓扑学中的一个着名问题，由法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在1904年提出。该猜想涉及三维闭合流形（即三维球面）的分类问题，具体表述如下：

在一个单连通的三维闭合流形上，任何封闭的无环曲线都可以连续收缩到一点。换句话说，这个流形与三维球面同胚（即可以通过连续变形互相转化）。

庞加莱猜想在数学界引起了极大的关注，因为它涉及到拓扑学和几何学的一些根本问题。经过近百年的努力，数学家们已经证明了在更高维度的类似问题，但对于三维情况，一直未能找到完整的证明。

佩雷尔曼的工作基于里奇流（Ricci flow）这一几何工具，他提出了一个全新的方法来处理几何和拓扑问题。他的证明不仅解决了庞加莱猜想，还解决了与之相关的史蒂文·斯特罗明格（Stephen Smale）提出的更一般的问题，即所谓的“光滑流形的分类问题”。

佩雷尔曼的证明在数学界引起了轰动，因为他的工作不仅解决了数学中的一个重大难题，而且展示了一种全新的数学思维方式。他的成果被认为是21世纪数学的一个里程碑，他也因此获得了2006年的菲尔兹奖，这是数学领域的最高荣誉之一。然而，佩雷尔曼本人拒绝了菲尔兹奖，并逐渐淡出了公众视野，继续过着低调的生活。

尽管佩雷尔曼的证明在数学界得到了广泛的认可，但他的工作也引发了一些争议，特别是关于他是否应该获得奖金和荣誉的问题。不过，无论如何，佩雷尔曼的工作都对数学的发展产生了深远的影响，他的证明方法和思想已经被广泛应用于其他数学问题的研究中。

佩雷尔曼解决庞加莱猜想的过程中，关键在于他对里奇流的深入理解和创新应用。里奇流是一种几何演化过程，它描述了空间曲率的动态变化。在佩雷尔曼的手中，这一工具成为了揭示三维流形内在结构的有力武器。

首先，佩雷尔曼对里奇流方程进行了精细的调整，引入了一个新的度量，使得流在演化过程中能够保持其几何性质。这一创新使得他能够在不破坏流形基本结构的前提下，对其进行连续的变形。

接下来，佩雷尔曼利用里奇流来探索三维流形的拓扑结构。他发现，在里奇流的演化下，流形会逐渐趋向于一个更加简单的形状，这个形状的特征是具有均匀的正曲率。这种现象被称为“奇点的形成”，在这些奇点处，流形的几何结构发生了剧烈的改变。