直角坐标系中的计算方法

在直角坐标系中，三维各向同性谐振子的定态薛定谔方程可以写为：

[ H \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) ]

其中 ( H ) 是哈密顿算符，( \psi(\mathbf{r}) ) 是波函数，( E ) 是能量本征值，( \mathbf{r} ) 是位置矢量。对于三维各向同性谐振子，哈密顿算符 ( H ) 可以分解为三个独立的谐振子哈密顿算符之和：

[ H = -\frac{\hbar^2}{2m} (abla^2 + \mu^2 r^2) ]

其中 ( \mu ) 是谐振子的振动频率，( r^2 = x^2 + y^2 + z^2 )，( abla^2 ) 是拉普拉斯算子。

通过分离变量法，可以将薛定谔方程分解为三个独立的一维方程，每个方程都对应一个谐振子的能级。然后，可以分别求解这三个方程，得到每个谐振子的能级，进而得到整个系统的总能级。

球坐标系中的计算方法

在球坐标系中，三维各向同性谐振子的定态薛定谔方程可以写为：

[ H \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) ]

其中 ( H ) 同样是哈密顿算符，( \psi(\mathbf{r}) ) 是波函数，( E ) 是能量本征值，( \mathbf{r} ) 是位置矢量。在球坐标系中，哈密顿算符 ( H ) 可以写为：

[ H = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \mu^2 r^2 \right) ]